二日酔いで素粒子論

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4. ラグランジアン形式

- 6月 08, 2022

ニュートン力学は直感的に理解しやすいが、実際に系の持つ対称性や各種性質を調べようとすると数学的な困難を伴うことが多い。その点、解析力学は数学的に見通しが良い理論形式であり、場の理論でもこの形式で議論が進められる。解析力学ではラグランジアンが主役となる。ラグランジアンは調べたい対象のすべての情報を含んでいる。素粒子論の世界で新理論を構築するというときは、新しいラグランジアンの形を探しているのである（たぶん、シン・ウルトラマンもそう言っていた）。本章では解析力学をおさらいし、ラグランジアンが与えられたとき必要な情報をどのように取り出すのかを確認する。 ●ラグランジアンと共役運動量ポテンシャル

$V(q)$ (

$q$ は空間座標) の下で質量

$m$ の物体は、次の量

$S$ が停留するように運動する。これは解析力学において理論の出発点となる原理であり、ニュートンの三法則的なものである。

$S\equiv\int dtL, \ \ \ L(q,\ \dot{q}) \equiv \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\\\text{停留条件: }\delta S = 0$

$S$ を作用、

$L$ をラグランジアンという。作用の停留条件を解くと、次のオイラーラグランジュ方程式が得られる。

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$ オイラーラグランジュ方程式を解けば、ニュートンの運動方程式が得られる。

$m\ddot{q} = -\frac{\partial V(q)}{\partial q}$ 変数

$q$ に対して次のように定義される変数

$p$ を

$q$ に共役な運動量という。

$p\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q}$ ラグランジアンの変数の一つである

$\dot{q}$ を

$p$ に変換するルジャンドル変換を行えば、系のエネルギーを表すハミルトニアンを得る。 \[\begin{eqnarray*} H &\equiv& p\dot{q} - L(q,\ p) \\...

3-2. 場の理論的世界観 – ヒッグスまで－

- 6月 06, 2022

●弱い相互作用電磁気力は電荷をもつ粒子に働いた。他の力も、対応する広い意味での”電荷”をもつ粒子に働く。弱い力は弱荷をもつ粒子に働く。弱荷とは粒子の種類のことであるが、詳しくはゲージ理論の章で説明する。フェルミオンのすべての素粒子がこの弱荷を持ち、 Wボソンと Zボソンと呼ばれる2種類の粒子が弱い力を媒介する。この2つの粒子の一番の特徴は、質量をもつことである。力の媒介粒子の質量は、その力の到達距離に反比例する。光は質量ゼロであるため、無限遠方まで力が及ぼされる。一方、WおよびZボソンは非常に重い質量（陽子の約100倍）を持っているため、力の到達距離は極端に短い。その距離は原子核程度のサイズであり、そのため日常のスケールで弱い相互作用を感じることはない。 Wボソン：プラスとマイナスの電荷をもつ

$W^+$ ,

$W^-$ の2種類があり、これが媒介する力を荷電弱相互作用という。このとき、電荷の保存によって力を受ける粒子は異なる電荷をもつ別の粒子に変化する。例えば、ダウン(d)クオークとニュートリノが相互作用する過程は以下のダイアグラムで表される。ところで、この図のニュートリノの線を終状態の方に折り曲げれば、これはdクオークがひとりでに崩壊し、アップ(u)クオークと電子および反ニュートリノを放出したとみることができる(下左図)。さらに、何もしないuクオークとdクオークを並走させることで、中性子が電子を放出して陽子に変化するベータ崩壊も表現できる(下右図)。このように、いろいろな現象を統一的に見渡せる。ファインマンダイアグラムが面白くなってきただろう！？ Zボソン： Zボソンは電気的に中性であり、これによる力は中性弱相互作用と呼ばれる。この反応過程は光子の交換と似ており、例えば、uクオークと電子の間の相互作用は以下で表される。また、WボソンとZボソンのもう一つの特徴は、自分も弱荷をもつことである。そのため、ＷボソンとＺボソンは自分自身とも結合する。この事実は、光子自身は電荷をもたなかったことと対照的である。 ●左右(パリティ)対称性の破れ粒子には右巻きと左巻きの状態がある。イメージとしては、スピンと運動方向がそろっているとき右巻き、逆向いているとき左巻きである。質量がゼロでなければ、観測者は粒子を追い越すことができる。そのため、右巻き状態...

3-1. 場の理論的世界観 – 電磁気まで –

- 6月 05, 2022

標準理論は場の量子論の枠組みで記述され、量子力学にはない多様な世界が広がっている。そこで、場の量子論的には素粒子の世界がどういうことになっているのかを定性的に説明する。「1. 素粒子の世界」で紹介できなかったトピックにもここで触れる。 ●フェルミオンとボソン素粒子に限らず、粒子にはフェルミオンとボソンの2種類がある。粒子に2種類のタイプがあることは簡単に予言できる。2つの同種粒子が位置

$\boldsymbol{x}_1$ と

$\boldsymbol{x}_2$ に存在する確率振幅は、波動関数

$\psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2)$ で表せる。粒子には個性がないので、この2つの位置を入れ替えた

$(\boldsymbol{x}_1 <--> \boldsymbol{x}_2)$ としても観測量にはなにも変化は起こらない。あったとしてもせいぜい位相の変化くらいである。その位相の変化分を複素数

$\alpha$ とおく。2回続けて入れ替えを行うと波動関数レベルで元に戻ることから

$\psi(\boldsymbol{x}_1 , \boldsymbol{x}_2) = \alpha\psi (\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_1) = \alpha^2\psi (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) \\ \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$ と求まる。

$\alpha=-1$ に対応する粒子がフェルミオン、

$\alpha=1$ に対応する粒子がボソンである。フェルミオン：「1. 素粒子の世界」では、物質を細かく分割していくとクオークやレプトンの素粒子に行きつくことを紹介した。それらは全てフェルミオンと呼ばれる種類の粒子である。フェルミオンは半整数(1/2, 3/2, …)のスピンをもつことが知られており、特に素粒子のあいつらはスピン1/2をもつ。そして、フェルミオンはさらにとんでもない性質をもつ。先ほどの式で

$\boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{x}$ とすると、 \[\psi(\boldsymbol{x}, \b...

2-2. 特殊相対性理論 – $E = mc^2$ に至る –

- 6月 01, 2022

今回の目的に必要な特殊相対論の知識は2-1の記事でほぼ尽くされているが、せっかくなので特殊相対論にまつわるトピックを少し紹介する。なぜ素粒子を記述するのに通常の量子力学では不十分なのかにも触れる。 ●時間の遅れと空間の縮み私が物理で一番面白いと思うのは、なんといっても相対論の時空のゆがみである。素粒子実験では日常の現象であるが、人間の認知能力が及ばないところの真理に未だ感動が色あせない。「双子のパラドックス」や「暴走車の車庫入れ問題」など、これを題材とした有名な例題はいくつもあるが、ここでは実際に日常的に観察されている現象を一例だけ挙げる。宇宙線ミュー粒子の検出地球に降り注ぐ宇宙線のなかには、大気圏に入ると空気分子と反応してミュー粒子に崩壊するものがある。ミュー粒子とは素粒子表に載っていたあいつである。不安定な第二世代の粒子であり、わずか

$\tau = 2.2 \mu{s}$ で崩壊し電子やニュートリノに変化する。上空10kmで光速の99.9%の速さを持ったミュー粒子が生成されたとする。このとき、崩壊するまでにミュー粒子が飛行する距離をニュートン力学の範囲で計算すると、

$L = 3 \times 10^5 [\text{km/s}] \times 0.999 \times 2.2 \times 10^{-6}[\text{s}] = 659[\text{m}]<10[\text{km}]$ となり、地上に届くことはできない。しかし、相対論の効果を正しく考慮すると結果が変わる。ローレンツ変換を正しく行うために座標を設定しておく。地上に対して静止した慣性系を

$S$ 、ミュー粒子の慣性系を

$S'$ とし、両者とも原点

$O$ をミュー粒子が誕生した地点とする。ミュー粒子が崩壊する

$t'=\tau$ のときの事象

$A$ を

$S$ と

$S'$ の二つの立場で比較する。

$S'$ の立場ではミュー粒子は常に

$x'=0$ の点に静止しているため、

$S'$ 系で

$A=(c\tau, 0)$ と表される。一方、

$S$ から見るとミュー粒子は時間

$t$ の間に速さ

$v$ で移動するため、

$S$ 系では

$A=(ct, vt)$ と表される。両者をローレンツ変換で結ぶと、 \[\begin{pmatrix}c\tau \\ 0 \end{pmatrix}...

2-1. 特殊相対性理論 – ローレンツ変換 –

- 5月 26, 2022

ニュートン力学は17世紀に完成し非常な成功をおさめたが、19世紀に電磁気学が完成すると両者の間の矛盾が問題となった。物理法則は慣性系によらないとすると、ニュートン力学はガリレイ変換するのに対し、マクスウェル方程式はローレンツ変換が必要となる。当時の情勢ではマクスウェル方程式がニュートン力学の近似理論であるとの見方が強かったが、アインシュタインはマクスウェル方程式の方が正しく、ニュートン力学は修正されねばならないとして相対性理論を構築した。現在では多くの実験事実がアインシュタインの正しさを証明している。場の量子論は「特殊」相対論的な量子力学であるため、これの理解が不可欠である。本記事で特殊相対論の基本事項をまとめる。（余談）ニュートン力学と電磁気学の矛盾には、例えば次のようなものがある。電磁気学では慣性系によらず光の速度が

$\sqrt{\varepsilon\mu}$ の定数で表されている一様磁場中を走る荷電粒子は

$q\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}$ のローレンツ力を受けて軌道を曲げられる。一方、この粒子と一緒に走る観測者からみると粒子は静止 (

$\boldsymbol{v} =\boldsymbol{0}$ ) しているため何故曲がっていくのか分からない ●ローレンツ変換特殊相対論は以下の2つを公理とする。どの慣性系から見ても光速は同じ物理法則は慣性系に依らず同じ公理1の意味は分かりやすいと思うが、公理2はどういうことかというと、どの慣性系でも方程式が同じ形であることを要請している。まずは、異なる慣性系の間の議論ができるようにローレンツ変換を導く必要がある。しかし少し長くなったので、導出は（補足）に回して結果だけ述べる。ある慣性系

$S$ と、それに対して

$x$ 軸方向に速さ

$v$ で走る慣性系

$S'$ が同じ物体を見ている状況を考える。その物体が、

$S$ に対しては時刻

$t$ の位置

$\boldsymbol{x}$ にあるように見え、

$S'$ に対しては時刻

$t'$ の位置

$\boldsymbol{x}'$ にあるように見えたとする。これを時空図で書くと上右図のようになる。時空図とは縦軸に光速×時間、横軸に空間をとる座標系であり、時空図上の点を事...

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