4. ラグランジアン形式

 ニュートン力学は直感的に理解しやすいが、実際に系の持つ対称性や各種性質を調べようとすると数学的な困難を伴うことが多い。その点、解析力学は数学的に見通しが良い理論形式であり、場の理論でもこの形式で議論が進められる。

解析力学ではラグランジアンが主役となる。ラグランジアンは調べたい対象のすべての情報を含んでいる。素粒子論の世界で新理論を構築するというときは、新しいラグランジアンの形を探しているのである（たぶん、シン・ウルトラマンもそう言っていた）。本章では解析力学をおさらいし、ラグランジアンが与えられたとき必要な情報をどのように取り出すのかを確認する。

●ラグランジアンと共役運動量

ポテンシャル$V(q)$ ($q$は空間座標) の下で質量$m$の物体は、次の量$S$が停留するように運動する。これは解析力学において理論の出発点となる原理であり、ニュートンの三法則的なものである。

\[S\equiv\int dtL, \ \ \ L(q,\ \dot{q}) \equiv \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\\\text{停留条件: }\delta S = 0\]

$S$を作用、$L$をラグランジアンという。作用の停留条件を解くと、次のオイラーラグランジュ方程式が得られる。

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\]

オイラーラグランジュ方程式を解けば、ニュートンの運動方程式が得られる。

\[m\ddot{q} = -\frac{\partial V(q)}{\partial q} \]

変数$q$に対して次のように定義される変数$p$を$q$に共役な運動量という。

\[p\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q} \]

ラグランジアンの変数の一つである$\dot{q}$を$p$に変換するルジャンドル変換を行えば、系のエネルギーを表すハミルトニアンを得る。

\[\begin{eqnarray*} H &\equiv& p\dot{q} - L(q,\ p) \\&=& p\frac{p}{m} - \left(\frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 - V(q)\right) \\&=&\frac{1}{2}\frac{p^2}{m} + V(q) \end{eqnarray*}\]

実際、ハミルトニアンは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和である全エネルギーの形をしている。

（余談）『ラグランジアンがなぜこの形なのか』は問わないルールである。ラグランジアンは所与のものであり、ニュートン力学で『なぜ$ma=F$なのか』と問わないのと同じである。

●場の理論のラグランジアン

場の理論においても同様に議論される。場とは時空の各点$x=(ct, \boldsymbol{x})$で値を持つ関数のことである。なにかいくつかの場$\phi_1(x), \cdots , \phi_n(x)$がある状況を考える。場の理論では、$\phi _i$と$\partial _\mu\phi _i\ (i = 1, \cdots, n)$の関数として表される次のラグランジアン密度$\mathcal{L}$が基本である。

\[L\equiv\int d^3\boldsymbol{x}\mathcal{L}(\phi_i,\ \partial_\mu\phi_i)\qquad \]

これを用いて作用は次のように表せる。

\[S=\int dt L = \int d^4x\mathcal{L}\]

あとは同じである。先ほどと同様に、運動方程式は停留条件から次のオイラーラグランジュ方程式で取り出せるし、

\[\partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi_i}   \right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_i} = 0\]

$\phi$の共役運動量$\pi$およびハミルトニアン密度$\mathcal{H}$は以下で与えられる。

\[\pi_i(x) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_0\phi_i}\]

\[\mathcal{H} = \displaystyle\sum_i\pi_i\partial_0\phi_i - \mathcal{L}(\phi_i, \pi_i, \boldsymbol{\nabla}\phi_i)\]

但し、オイラーラグランジュ方程式を導く際には場$\phi$が無限遠方で$0$になることを使う。また、ハミルトニアンの式で右辺のラグランジアン密度が$\boldsymbol{\nabla}\phi$の関数になっているのは、$\partial_\mu\phi$のうち$\partial_0\phi$の部分だけが$\pi$に置き換わり、空間成分の$\partial_i\phi$は残っているからである。

ラグランジアン密度とは単位体積当たりのラグランジアンであるが、慣習上、ラグランジアン密度の方もふつうにラグランジアンと呼ばれることが多い。本記事でもラグランジアン密度のことをラグランジアンと呼ぶことにする。

●ラグランジアンの対称性

上の余談にてラグランジアンは所与のものであるといったが、もちろん$ma=F$になるラグランジアンの形は一通りではない。具体的には、ラグランジアンに$q$と$t$の任意の関数$K(q, t)$の時間微分$dK/dt$を加えても、オイラーラグランジュ方程式は同じ方程式を導く。実際、

\[\frac{d}{dt}K(q,\ t)=\dot{q}\frac{\partial K}{\partial q}+\frac{\partial K}{\partial t}\]

を踏まえると、追加項部分のオイラーラグランジュ方程式は、

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{q}}\frac{dK}{dt}\right)-\frac{\partial}{\partial q}\frac{dK}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{\partial K}{\partial q}-\frac{\partial}{\partial q}\frac{dK}{dt}=0\]

となり、消えることが分かる。

場の理論の場合は、場$\phi$の任意の関数$K^\mu (\phi)$の全微分$\partial _\mu K^\mu$を加えても、オイラーラグランジュ方程式は同じ運動方程式を導く。実際、

\[\partial _\mu K^\mu=\frac{\partial K^\mu}{\partial\phi}\partial_\mu\phi\]

を踏まえると、追加項部分のオイラーラグランジュ方程式は、

\[\begin{eqnarray*}\partial_\mu\left(\frac{\partial}{\partial\partial_\mu\phi}\partial _\nu K^\nu\right) - \frac{\partial}{\partial\phi}\partial _\nu K^\nu &=& \partial_\mu\frac{\partial}{\partial\partial_\mu\phi} \left( \frac{\partial K^\nu}{\partial\phi}\partial_\nu\phi\right) - \frac{\partial}{\partial\phi}\left( \frac{\partial K^\nu}{\partial\phi}\partial_\nu\phi\right) \\ &=& \partial\mu\frac{\partial K^\nu}{\partial\phi}\delta^\mu_\nu - \frac{\partial^2 K^\nu}{\partial\phi^2}\partial_\nu\phi \\ &=& \frac{\partial^2 K^\mu}{\partial\phi^2}\partial_\mu\phi - \frac{\partial^2 K^\nu}{\partial\phi^2}\partial_\nu\phi = 0\end{eqnarray*}\]

となり、やはり消えることが分かる。2つめの等号では、$K$は$\phi$のみの関数であり、$\partial \phi$の関数ではないことを用いた。

以上から、ラグランジアンの変化がこの範囲にとどまる限り理論は等価であるといえる。ラグランジアン形式において、「系がある変換において対称である」とは、その変換の下でのラグランジアンの変化がゼロか、あったとしてもこのような形で表されることをいう。

●ネーターの定理

系になにか連続的対称性があるとき、それに対応してその系にはなにか保存則が現れる。これをネーターの定理という。

例えば、ある実験とそこから得られる結果があったとする。その実験系を別の場所に移動させても、同じ結果が得られるであろうことは誰もが信じるところである。これを系に空間並進対称性があるという。この対称性に対応して、その実験系では運動量保存則が成立する。また、この実験を翌日実施しても同じ結果が得られるであろう。このとき、時間並進対称性に対応してエネルギー保存則が成り立つ。このほか、角運動量保存則や電荷保存則もそれに対応する対称性の存在が根拠となっている。

保存則で保存されるものを保存量という。運動量やエネルギーは保存量の例である。ところで、ある粒子が安定して存在していることは、その粒子数が保存していることを意味する。我々の体を構成する原子が突然消えてしまわないのも、いくつかの保存則に支えられている。宇宙に浮遊するダークマターという未知の物質は、銀河の形成に一役買っていることから宇宙誕生初期より安定して生き延びてきたことになる。そこで、ダークマターの探索においては、その存在を支える保存量はなんなのかということも重要な視点である。

（余談）エミー・ネーターは19世紀の女性数学者である。それより前の時代に活躍した女性数学者にソフィ・ジェルマンという人もいる。左右対称性の破れの存在も中国の女性物理学者ウーによって結論付けられた。昔は女性が学問をするためにはいろいろな困難を乗り越えなければならなかったようで、そうした時代の女性研究者には逸話が伴うことが多い。検索してみると面白い。

前置きが長くなったが、ネーターの定理の内容を述べる。

通常の解析力学において：

ラグランジアン$L(q, \dot{q})$が与えられているとする。$q$の微小変換の下でのラグランジアンの変化$\delta L$を考える。

\[q\rightarrow q + \delta q \\ \delta L\equiv L(q+\delta q,\ \dot{q}+\delta\dot{q})-L(q,\ \dot{q}) \]

このラグランジアンの変化が、ある関数$K(q, t)$の時間微分の形に収まったとする。

\[\delta L = \frac{d}{dt}K\]

このとき、

\[\begin{eqnarray*}0 &=& \delta L-\frac{dK}{dt} \\ &=& \delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{dK}{dt} \\ &=& \delta q\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}+\left(\frac{d}{dt}\delta q\right)\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{dK}{dt} \\ &=& \frac{d}{dt}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)-\frac{dK}{dt} \\ &=& \frac{d}{dt}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-K\right)\end{eqnarray*}\]

から、次の量$N$は保存量であることが分かる。但し、上の3つめの等号の第一項でオイラーラグランジュ方程式を用いた。

\[N\equiv\delta q\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-K\]

この保存量$N$を一般にネーターチャージといい、これこそが状況に応じて運動量だったりエネルギーだったり、はたまた電荷だったりする量である。

場の理論において：

ある場$\phi _1, \cdots, \phi _n$に対するラグランジアン$\mathcal{L}(\phi _i, \partial _\mu \phi _i)$が与えられているとする。場$\phi _i$の微小変化の下でのラグランジアンの変化$\delta \mathcal{L}$を考える。

\[\phi_i(x) \rightarrow \phi_i(x) + \delta\phi_i(x)\]

\[\delta\mathcal{L} \equiv \mathcal{L}(\phi_i + \delta\phi_i, \ \partial_\mu(\phi_i + \delta\phi_i)) - \mathcal{L}(\phi_i,\ \partial_\mu\phi_i)\]

このラグランジアンの変化が、ある関数$K^\mu(\phi_i)$の全微分の形に収まったとする。

\[\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu(\phi_i)\]

このとき、

\[\begin{eqnarray*}0 &=& \delta\mathcal{L}-\partial_\mu K^\mu \\ &=& \displaystyle\sum_i\left[\delta\phi_i\frac{\mathcal{L}}{\partial\phi_i}+(\partial_\mu\delta \phi_i)\frac{\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi_i}\right]-\partial_\mu K^\mu \\ &=& \displaystyle\sum_i\left[\delta\phi_i\left(\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi_i}\right)+(\partial_\mu\delta\phi_i)\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi_i}\right]-\partial_\mu K^\mu \\ &=& \partial_\mu\left(\displaystyle\sum_i\delta\phi_i\frac{\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi_i}\right)-\partial_\mu K^\mu \\ &=& \partial_\mu\left(\displaystyle\sum_i\delta\phi_i\frac{\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi_i}-K^\mu\right) \end{eqnarray*}\]

から、次の量$N^\mu$に対して流れの保存が成り立つ。但し、上の3つめの等号の第一項でオイラーラグランジュ方程式を用いた。

\[\partial_\mu N^\mu = 0\ , \quad N^\mu \equiv \displaystyle \sum_i \delta\phi_i \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} - K^\mu\]

この$N^\mu$をネーターカレントという。ここで、流れの保存とかカレントとか言っているのは、この保存の式を

\[\partial_\mu N^\mu=\frac{\partial}{\partial ct}N^0 + \frac{\partial}{\partial x}N^1 + \frac{\partial}{\partial y}N^2 + \frac{\partial}{\partial z}N^3 = \frac{1}{c}\frac{\partial N^0}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{N} = 0\]

と書き下すと、電荷に関する連続の式

\[\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0\]

とのアナロジーから、流れの保存則を表していることが見て取れるからである。

さらに、この$N^\mu$の時間成分$N^0$は以下のように保存量$Q$に対応する。この$Q$は場の理論版ネーターチャージである。証明は簡単であるが補足に回す。

\[\frac{dQ}{dt} = 0 \ , \quad Q \equiv \displaystyle \int d^3 \boldsymbol{x} N^0 \]

なお、ネーターの定理が相手にしているのが連続的な変換であることには注意を払う必要がある。つまり、ある変換が微小変換の積み重ねで表されるとき、その変換でラグランジアンが不変ならば定理が成り立つ。左右を入れ替えるパリティ変換などは連続的な変換ではないため、パリティ対称性が成り立っているからと言ってネーターの定理は使えない。

●エネルギー運動量テンソル

一例だけ、並進変換に対するネーターの定理の適用例を紹介する。

通常の解析力学において：

具体的な計算をするためにはラグランジアンを一つ決めなければならない。ここでは、自由粒子のラグランジアン$L = \frac{1}{2} m\dot{q}^2$を考える。座標$q$に対して、任意の微小量$\varepsilon$だけ原点をずらす変換を考える。

\[q\rightarrow q + \varepsilon\]

このとき、変化分$\varepsilon$は微分で消えるため、明らかにラグランジアンは不変である。つまり、この系は空間並進対称性を持つといえる。保存するネーターチャージは、

\[N = \varepsilon \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \varepsilon m\dot{q}\]

$\varepsilon$は任意の微小量なので、保存量は運動量$p= m\dot{q}$である。確かに、空間並進対称性に対応して運動量保存則が導かれた。

場の理論において：

ラグランジアンが場$\phi$を使って、

\[\mathcal{L}(\phi, \ \partial_\mu\phi)=\partial_\mu\phi^\dagger\partial^\mu\phi-m^2\phi^\dagger\phi\]

と与えられているとする。これは次章で見るように複素スカラー場のラグランジアンである。以降の計算では、$\phi$と$\phi^\dagger$は独立な場とみなされる。場$\phi$に対して、次の無限小の時空並進変換を考える。

\[\phi(x) \rightarrow \phi(x + \varepsilon) = \phi(x)+\varepsilon_\nu\partial^\nu\phi \]

$\phi^\dagger$に対しても同様に変化させる。このとき、ラグランジアンの変化は、

\[\begin{eqnarray*} \delta \mathcal{L} &\equiv& \mathcal{L} \left(\phi(x + \varepsilon),\ \partial_\mu\phi(x + \varepsilon) \right) -\mathcal{L}(\phi,\ \partial_\mu\phi) \\ &=& \mathcal{L}(x + \varepsilon) - \mathcal{L}(x) = \varepsilon_\nu\partial^\nu\mathcal{L} = \partial_\nu\varepsilon^\nu\mathcal{L} \end{eqnarray*}\]

これは、$K^ν = \varepsilon^ν \mathcal{L}$とみなせば、ネーターの定理の仮定の形を満たしている。そのため、次のネーターカレントが保存する。

\[\partial_\mu N^\mu=0\]

\[\begin{eqnarray*}  N^\mu &\equiv& \varepsilon_\nu\partial^\nu\phi \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} + \varepsilon_\nu\partial^\nu\phi^\dagger \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^\dagger)} - \varepsilon^\mu\mathcal{L} \\ &=& \varepsilon_\nu(\partial^\nu\phi\partial^\mu\phi^\dagger + \partial^\nu\phi^\dagger\partial^\mu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}) \end{eqnarray*}\]

最後の等号では、計量テンソル$\eta^{\mu\nu}$を使って$\varepsilon$の添え字を下げた。ここで、$\varepsilon$は任意の微小量なので、これを取り除いて

\[ T^{\mu\nu} \equiv \partial^\mu\phi^\dagger\partial^\nu\phi + \partial^\nu\phi^\dagger\partial^\mu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}\]

を定義する。これをエネルギー運動量テンソルという。$T^{\mu\nu}$についても保存則$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$が成り立つ。さらに、$\mu=0$の成分を使ってネーターチャージ$P^ν$を計算する。

\[ P^\nu \equiv \int d^3\boldsymbol{x} T^{0\nu}\]

これにはベクトルの添え字$ν$が残っている。時空並進対称性に伴う保存量なので、この正体はエネルギーと運動量を含む4元運動量ベクトルである。時間の並進も含んでいるので、エネルギーが入っている。時間成分と空間成分からエネルギーと運動量をそれぞれ計算すると以下のようになる。

エネルギーは時間成分から、

\[\begin{eqnarray*} H \equiv P^0 &=& \int d^3\boldsymbol{x} T^{00} \\ &=& \int d^3\boldsymbol{x}(\partial^0\phi^\dagger\partial^0\phi - \displaystyle\sum_{i=1}^{3}\partial_i\phi^\dagger\partial^i\phi + m^2\phi^\dagger\phi) \\ &=& \int d^3\boldsymbol{x} (\pi^\dagger\pi + \boldsymbol{\nabla}\phi^\dagger\cdot \boldsymbol{\nabla}\phi + m^2\phi^\dagger\phi) \end{eqnarray*}\]

運動量は、空間成分$i=1, 2, 3$に対して

\[\begin{eqnarray*} P^i &=& \int d^3\boldsymbol{x}T^{0i} \\ &=& \int d^3\boldsymbol{x}\left(\partial^0\phi^\dagger\partial^i\phi + \partial^i\phi^\dagger\partial^0\phi\right) \\ &=& \int d^3\boldsymbol{x} \left( \pi\partial^i\phi + (\partial^i\phi^\dagger)\pi^\dagger\right) \end{eqnarray*}\]

3次元ベクトルとしてまとめて書けば、

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{P} &=& -\int d^3\boldsymbol{x}\left\{ \pi\boldsymbol{\nabla}\phi + (\boldsymbol{\nabla}\phi^\dagger)\pi^\dagger \right\} \\ &=& -\int d^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}\left\{\pi\boldsymbol{\nabla}\phi + (\boldsymbol{\nabla}\phi)\pi + \\ \quad \quad \quad \quad (\boldsymbol{\nabla}\phi^\dagger)\pi^\dagger + \pi^\dagger\boldsymbol{\nabla}\phi^\dagger\right\} \end{eqnarray*}\]

最後の行で積の順序を対象にした。まだ場の関数は演算子ではないので、この時点では順序のことは気にしなくていい。しかし、場を演算子化したときにはこの定義がwell-definedである。

以上、ラグランジアン形式について必要なことをまとめた。場の理論でのエネルギーや運動量の演算子は、ここで得られた表式が使われることとなる。次章、いよいよ標準理論の登場人物をひとりひとり見ていく。

（補足）場の理論におけるネーターチャージの保存

$Q$の時間微分が$0$であることを示す。

\[\frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}\int d^3\boldsymbol{x}N^0 = \int d^3\boldsymbol{x}\frac{\partial N^0}{\partial t} = - \int d^3\boldsymbol{x}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{N}=-\int_{\partial V}dS\ \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{N}=0\]

カレントの保存とガウスの発散定理、さらに無限遠方でカレント$\boldsymbol{N}$がゼロであることを用いた。