●相対論的な形式とは
下付き添え字ベクトルを以下のように導入する。
\[x_\mu = (x_0 , x_1 , x_2 , x_3) = (x^0, -x^1 , -x^2 , -x^3) = (x^0 , -\boldsymbol{x})\]
つまり、空間成分の符号が反転したベクトルである。また、上付き添え字と下付き添え字がそろえば無条件で$\mu = 0, 1, 2, 3$にわたって和がとられるものと約束する。これをアインシュタインの縮約という。
\[\begin{eqnarray*}x_\mu{y}^\mu &=& x^\mu{y_\mu } \equiv \displaystyle \sum_{\mu=0}^3 x_\mu{y^\mu} \\ &=& x_0y^0+x_1y^1+x_2y^2+x_3y^3 \\ &=& x^0y^0-x^1y^1-x^2y^2-x^3y^3\end{eqnarray*}\]
ミンコフスキー空間では、ベクトル$x^\mu$と$y^\mu$の内積$x\cdot y$はこの$x_μy^\mu$で定義される。特にこの定義から、$x_\mu{x^\mu}$はミンコフスキー空間のノルムであることが分かる。縮約された量はスカラー量であり、縮約に使われた記号はダミー変数（シグマ記号の下で走るだけの変数）となる。
また、4元ベクトル版の微分記号を以下のように定義する。
\[\partial_\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu} \equiv \left(\partial_t, \partial_x, \partial_y, \partial_z \right) \equiv \left(\frac{\partial}{\partial ct}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) = \left(\frac{\partial}{\partial ct}, \boldsymbol{\nabla}\right)\]
\[\partial^\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x_\mu} \equiv \left(\partial^t, \partial^x, \partial^y, \partial^z \right) \equiv \left(\frac{\partial}{\partial ct}, -\frac{\partial}{\partial x}, -\frac{\partial}{\partial y}, -\frac{\partial}{\partial z}\right) = \left(\frac{\partial}{\partial ct}, -\boldsymbol{\nabla}\right)\]
さて、公理2が言わんとすることを具体的に述べる。それは、ローレンツ変換の下で等式が保たれるように、方程式がローレンツ不変または共変な形であること要求している。
ローレンツ不変：添え字が全て縮約された形式。このとき、方程式はスカラー量で表されているため、ローレンツ変換で不変となる。例えば、以下の例はシュレディンガー方程式の相対論版であるクラインゴルドン方程式であるが、添え字$\mu$が縮約され、生きている添え字はない。
\[(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi = 0\]
ローレンツ共変：ダミーでない添え字が両辺で揃っている形式。このとき、ローレンツ変換で方程式の両辺は同じように変換する。以下の例はマクスウェル方程式であるが、添え字$\nu$はダミーである一方、$\mu$は生きており（全項を左辺に寄せているが）両辺で揃っている。
\[\partial_\nu(\partial^\mu{A}^\nu - \partial^\nu{A}^\mu) = 0\]
●計量テンソル
上付き・下付きの添え字について説明したが、添え字計算で重要な役割をする計量テンソルを最後に紹介したい。計量テンソルは次のように定義される。
\[\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}\equiv\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
行列なので添え字が二つ使われている。ちなみに、添え字が二つ以上つく量にテンソルという名前がつくことが多い。$\mu$と$\nu$両方についてスキャンすることで、縮約は計量テンソルを使って次のようにも書ける。
\[x_\mu x^\mu = \eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu\]
対角項以外ゼロなので、この成立はすぐわかると思う。ここで、両辺の$x^\mu$を取り除いてみる。すると、次を得る。
\[x_\mu = \eta_{\mu\nu}x^\nu\]
これは、計量テンソルによって添え字が上から下に移動したように見える。同様に下から上に移動させることもできる。
\[x^\mu = \eta^{\mu\nu}x_\nu\]
計量テンソルの定義をみながら$\nu$の縮約を考えればこれらもすぐ納得できると思う。実は、このように計量テンソルを使って添え字の"上げ下げ"ができるというのは大変便利なことなのである。以降もちょこちょこ出てくるのでここで紹介した。
以上、特殊相対性理論を簡単にまとめた。これで早くも相対論的な形式で理論を展開することができるようになった。場の理論においても特殊相対論の2つの公理はそのまま引き継がれるため、方程式は相対論的な形式で書かれることになる。標準理論のラグランジアンにはいっぱい謎の添え字がついているが、それはベクトルの添え字なのである。
（補足）ローレンツ変換の導出
これは公理1と少しの仮定だけから導かれる。ある慣性系$S$と、それに対して$x$軸正の向き速さ$v$で走る慣性系$S'$を考える。$S$系を主役に$ct$と$x$を直交座標に取った時空図を考える。こうした時空図においては、光の経路は常に傾き45°の直線で表される。そうなるように時間軸に光速$c$がかけられている。
さて、まずは$S'$系の軸を決めなければならない。$S$から見て$x$軸正の向きに速さ$v$で走っている$S'$の経路は、時空図上で傾き$c/v$の直線で表される。$S'$からすると、自分は常に原点に静止しているため、$ct'$軸$(x’=0)$はこの傾き$c/v$の直線そのものである。
では、$x'$軸はどうとればいいだろうか。ここで公理1を使う。走っている$S'$にとっても光の速さは$c$である。$S'$の両側等距離のところに光源を置き、同時に光らせると同時に$S'$に到達するはずである。この状況を時空図で幾何学的に考えると、下図のように$x'$軸は傾き$v/c$の直線であることが分かる。
以上を踏まえて、時空図上のある点が$S$系で$(ct, x)$、$S'$系で$(ct', x')$と表されるときの両者の関係式(ローレンツ変換)を導く。ここで一つ仮定が入るが、この変換は時間座標と空間座標が混ざり合う線形変換であるとして以下の$p, q, r, s$を求めることとする。
\[\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{l} ct' = p(ct) + qx \\ x' = r(ct) + sx \end{array}\right.\end{eqnarray*}\]
まず、$ct'$軸上の点は$c/v$の直線であることから、
\[ct' : ct = \frac{c}{v}x\]
を満たすが、同時に$x'=0$の直線でもあるため、
\[r(ct) + sx = 0\]
も満たす。これより$r$を消去できる。
\[r = -\frac{v}{c}s\]
同様に$x'$軸を考えることで、$q$も消去できる。
\[q = -\frac{v}{c}p\]
よって、
\[\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{l} ct' = p(ct - \frac{v}{c}x) \\ x' = s(x - \frac{v}{c}ct) \end{array}\right.\end{eqnarray*}\]
と書ける。さらにもう一度公理1を使う。$S$、$S'$いずれでも光の経路上では$ct = x$および$ct'=x'$なので、そこから$p=s$が分かる。
ところで、次の量を定義する。
\[s^2 \equiv (ct)^2 - x^2\]
この量は$S'$系では、
\[\begin{eqnarray*}s'^2 &=& (ct')^2 - x'^2 \\ &=&\left\{p\left(ct - \frac{v}{c}x\right) \right\}^2 - \left\{p\left(x - \frac{v}{c}ct\right) \right\}^2 \\ &=& p^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \left\{ (ct)^2 -x^2 \right\} \\ &=& p^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)s^2 \end{eqnarray*}\]
となり、$S$系の量に比例する。ここでもう一つ仮定を入れる。今、この量の比例係数の部分は速度の大きさ$v^2$の関数になっていることが見て取れる。このことから、この量の変換を
\[s'^2 = \phi{s}^2 \ \ \ \ \text{但し、}\phi \equiv p^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\]
と書いたとき、変換係数は速度の大きさにしか依存しないとして$\phi=\phi(|v|)$と仮定する（この仮定が正しいことはシュッツ[1]が詳しい）。さて、今度は逆に$S'$系を起点として、$x'$軸方向に$-v$で走っているように見える$S$系への変換を考える。それにより
\[s^2 = \phi (|-v|)s'^2 = \phi(|v|)s'^2 = \phi(|v|)^2s^2\]
\[\phi(|v|)^2 = 1 ⇒ \phi(|v|) = 1 ⇒ p = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
を得る。得られた$p$を$\gamma$と置きなおすことで、結局、ローレンツ変換は以下で表されることが分かった。
\[\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{l} ct' = \gamma(ct - \beta{x}) \\ x' = \gamma(x - \beta{ct}) \end{array}\right.\end{eqnarray*} \]
ただし、
\[\beta = \frac{v}{c} \ , \ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\]
今、空間方向は1次元で考えたが、(1+3)次元時空では以下の表式となる。
\[\begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]
今回は$x$軸方向に沿った時間と空間のローレンツ変換を考えた。これを$x$軸方向にブーストするという。一般の方向にブーストする変換行列はかなり複雑な表式になる。しかし、それを使うことはほとんどない。いつでもブーストする方向に軸を設定できるので、実際の計算を行う上では今回得た表式で十分である。
[1] シュッツ 著, 江里口 訳, 二間瀬 訳, シュッツ相対論入門 第2版, 2010, 丸善出版
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